小球会停下来吗

在高中的时候我有这么一个思考，灵感源于一道物理题目

一个小球从高度为 $h$ 的地方下落，落在地面上接着弹起，但是由于与地面碰撞造成能量损失，使得每次弹起的高度只有之前高度的 $1/4$。

这道题目看起来是没有什么问题，当时我的想法是每次球的高度都会变为原来的 $1/4$，所以球是会一直这样弹下去的，就像是庄子说的

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

所以在这里我得到一个结论，小球会一直运动下去，所以小球的运动时间为无穷大。

但是当我计算时却发现不对劲，假设从高度为 $h$ 降落所需的时间为 $t_0$，由于下降所需时间 $t \propto \sqrt{h}$ ，那么 $h/4$ 下降所需的时间为 $t_0/2$，换句话说，每次上升然后下降所需的时间为之前所需时间的一半，所以耗费的时间的数列为

$$t_0, \frac{t_0}{2}, \frac{t_0}{2^2}, \cdots, \frac{t_0}{2^n}, \cdots$$

这是一个等比数列，公比为 $1/2$，我们对这个数列求和

$$t_0 \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{t = 0}^{n} \frac{1}{2^{i}} = 2t_0$$

我们得到这么一个事实，小球的运动时间不会超过 $2t_0$，也就是说小球会在 $2t_0$ 后停下，这与我在之前得到的结论相反，小球应该会一直弹下去，怎么会停下来呢?

所以我当时一直在苦恼，小球到底会不会停下来？

我与身边的同学讨论过这个问题，但是显然他们不仅没有给我正确的答案，反而最后也有这个疑问。而且这个问题一直没有得到解答，渐渐的我也就忘了这个问题，毕竟这种问题不会再考卷上出现，也不会影响我的学习。

而现在我突然想起这个问题，是因为我最近在看一本书 《上帝掷骰子吗?：量子物理史话》，这本书是讲量子力学的历史的，这本书给了我一个启发来解决我上面的疑惑。

想必在我们大部分的认知中，我们会觉得认为时间是连续的，空间是连续的，能量也是连续的。汽车速度从 0km/h 加速到 100km/h，那么速度一定会经过 25km/h，因为速度它是连续变化的；温度从 0℃ 上升到 100℃，那么它一定会经过 25℃，因为温度也是连续变化的。

量子力学的创始者普朗克在研究物理问题时，由于数学处理的需要，他假设能量它不是连续的，而是离散的，有着最小单位，而能量的大小只能为这些最小单位的整数倍。普朗克带来这么一种观念，能量是离散的，而不是连续的，这在当时简直就是异类学说，甚至在普朗克最初提出这么一个概念时，他自己都不相信。但是最后我们知道量子力学它是对的，能量并不是连续的，而是离散的，只是能量的最小单位非常小，察觉不出来而已。

所以这给我带来的启发就是，空间它是不是也是离散的，它是不是也有着最小的单位，只是这个单位特别小，我们察觉不出来而已。如果空间也有着最小的单位，那当我们的高度已经是最小单位时，它是不是就会停下来，因为它不可能达到最小单位的 $1/4$，因为已经是最小了，如果比最小单位还小，那还能叫做最小单位吗。

所以我的结论就是小球会停下来，它不会永远的弹下去，因为空间有最小单位。

在这里我又想起了一个悖论，那就是芝洛悖论：

一个人和一只乌龟进行赛跑，乌龟的速度为 1m/s，人的速度为 10m/s，乌龟在人前方 100m，那么这个悖论说的是人永远追不上乌龟，只能无限的逼近乌龟，这是怎么回事？

假设乌龟在点 B，人在点 A，人要追上乌龟就必须要经过 B 点

但是当人到达 B 点时，乌龟已经到达 C 点了

同理，人如果要追上乌龟的话，就必须会经过 C 点，而当人到达 C 点时，乌龟已经去了 D 点了，如此往复，人永远都不可能追上乌龟，只可能在无限的逼近。这与我们的实际不符，那么我们怎么来反对这么一个悖论?

我们假设时间和空间不是连续的，不能够永远的分割下去，它们都有着最小的单位，即时间和空间都是离散的。在这样的假设下，那么人就不会无限的逼近乌龟，所谓的无限的逼近乌龟，指的就是人与乌龟之间的距离无限的趋近于 $0$，但是我们假设空间它不是连续的，即人与空间之间的距离不会无限的小，最小也只可能是一个空间最小单位。

那什么时候人会超过乌龟呢? 我们不妨假设人在 $1$ 个时间最小单位中能够移动 $10$ 个空间最小单位，而乌龟在在 $1$ 个时间最小单位中能够移动 $1$ 个空间最小单位，当人与乌龟之间的距离小于 $9$ 个空间最小单位时，那么在下一个时间最小单位，人就超过了乌龟。

所以，我认为这个世界的本质不是连续的，而是离散的。